Особенность логарифмической спирали заключается в том, что длины сегментов в соседних витках спирали образуют геометрическую прогрессию.
Теоретически число сходящихся витков логарифмической спирали может быть бесконечно, но на любом изображении мы способны видеть лишь некоторое их количество - насколько позволяет уровень различимости. Она обладает точным самоподобием, так что при её общем увеличении отдельная часть всей спирали оказывается точно такой же, какой она была целиком до увеличения.
В полярной системе координат уравнение логарифмической спирали выглядит следующим образом:
Параметр a отвечает только за размеры спирали и не влияет на её форму. Параметр b - важнее, от него зависит угол, с которым расходится спираль (этот угол называют наклоном спирали) и направление раскручивания (по часовой стрелке или против):
Пусть координата точки C задается уравнением:
Тогда, поскольку в точке B спираль совершает один дополнительный полный виток по сравнению с точкой C, координаты точки B соответствуют уравнению:
Точно также устанавливаем координаты для точки А:
Запишем требование отношения длин прямых отрезков А-B и B-С:
Отсюда находим:
Значит, уравнение искомой логарифмической спирали:
где a - произвольное положительное число.
Для такого значения параметра b угол наклона спирали равен примерно 9 градусам (именно такая спираль изображена выше). Занятно, что известные примеры логарифмических спиралей в природе часто (но не всегда) имеют близкие углы наклона/
Установлено, например, что наша галактика Млечный путь является спиральной галактикой, состоящей из двух спиралевидных рукавов. Угол наклона каждого составляет около 12 градусов (хотя известны галактики с углами наклона спирали от 5 до 20 градусов).
Говоря о логарифмических спиралях, нельзя не упомянуть так называемую золотую спираль - в ней параметр b привязан к знаменитому золотому сечению:
Золотая спираль имеет существенно более высокий угол наклона (около 17 градусов), чем та, которую мы получили, и поэтому раскручивается быстрее (черная):
Золотая спираль тесно связана не только с золотым сечением, которое принято как-то связывать с эстетикой (вроде бы, золтое сечение соответствует самой эстетичной пропорции), но и со знаменитыми же числами Фибоначчи. Среди разного рода мистиков золотая спираль пользуется почетом, поскольку по их мнению она каким-то образом отражает загадочную природу человеческого духа и самой природы.
По материалам сайта http://www.cognitivist.ru/er/kernel/prologi_58_spiral_structure.xml
|
